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restart:

>	with(plots):

>	with(linalg):

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Definition

Das Zylindroid  ist eine konoidale Regelfläche .

I.e. eine Regelfläche, die nur eine Gerade als Leitlinie besitzt, wobei diese eine Ferngerade sein muss.

Die anderen Leitkurven entstehen wie folgt:

Man schneide einen beliebigen Zylinder mit 2 Ebenen ab, die weder parallel zu den Erzeugenden des Zylinders

noch ident sind. Die Schnittgerade dieser Ebenen sei g. Dann verschiebt man eine der beiden Schnittkurven in

Richtung der Geraden g. Die entstehenden Kurven heißen k1 und k2.

Die Erzeugenden des Zylindroides sollen diese beiden Kurven k1 und k2 schneiden und parallel zur Ebene E sein, die

durch die Gerade g geht und parallel zu den Zylindererzeugenden ist (die dritte Leitkurve ist also die Ferngerade

der zu E parallelen Ebenenstellung).

In unserem Fall vereinfachen wir dieses Zylindroid ein wenig. Wir nehmen an, dass der Ausgangszylinder ein

Drehzylinder ist, dessen Achse erstprojizierend ist. Außerdem nehmen wir an, dass die Schnittebenen

zweitprojizierend sind.

Parameterdarstellungen

Wir wählen das Kartesische Normalkoordinatensystem so, dass die z-Achse mit der Achse des

Drehzylinders zusammenfällt. Dadurch kann die Parameterdarstellung des Drehzylinders einfach

angegeben werden:

>	DZ:=[r*cos(phi),r*sin(phi),s];

wobei r den Radius des Basiskreises angibt.

Auf Grund der besonderen Annahme besitzen die Ebene E1 und die Gerade g die Gleichungen:

>	E1:=a*y+b*z;

>	g:=[t,v*b,v*(-a)];

Wobei v fest aus den reellen Zahlen gewählt wird. Durch dieses v wird die Gerade g und somit

die zweite Ebene bestimmt:

>	E2:=d*y+e*z-d*v*b+e*v*a;

E1 und E2 mit dem Drehzylinder geschnitten ergibt die Parameterdarstellung der Kurven k1 und k2q (vor dem

verschieben). Hierzu müssen die Koordinatenfunktionen des Drehzylinders die Ebenengleichungen erfüllen.

Daraus ergibt sich eine Gleichung für die Parameterwerte s auf den Erzeugenden:

>	s1:=-a*r*sin(phi)/b;

>	s2:=(d*v*b-e*v*a-d*r*sin(phi))/e;

Die Schnittkurven ergeben sich durch Einsetzen dieser Werte in die Parameterdarstellung des Drehzylinders:

>	k1:=[r*cos(phi),r*sin(phi),s1];

>	k2q:=[r*cos(phi),r*sin(phi),s2];

Da die Gerade g bei uns zweitprojizierend ist, wird die Kurve k2q in Richtung der x-Achse um einen Vektor

der Länge c verschoben:

>	k2:=[r*cos(phi)+c,r*sin(phi),s2];

Die Erzeugenden der Fläche ergeben sich dann als Verbindungsgeraden jener Punkte von k1 und k2, die

vor der Verschiebung auf einer Erzeugenden des Drehzylinders gelegen sind.

Wenn man die Definition näher betrachtet sieht man, dass die Fläche noch einen weiteren Flächenast besitzt,

der aus jenen Erzeugenden besteht, die parallel zu E sind und beide Schnittkurven treffen, die aber vor der

Verschiebung keine Zylindererzeugenden waren. Diese Fläche lassen wir bei dieser Betrachtung außer Acht!

Für die erste Fläche ergibt sich dann:

>	ZD:=matadd(k1,scalarmul((k2-k1),t));

Ordnung

Die Ordnung einer Regelfläche ergibt sich aus 2x dem Produkt der Ordnungen der Leitkurven.

Also ist die Ordnung unserer Regelfläche 2*2*2*1=8.

Da aber, wie oben erwähnt, die Fläche aus zwei Teilen, die die gleiche Ordnung besitzen, bestehen und wir nur einen

Teil davon betrachten, hat unser Zylindroid die Ordnung 4.

Variablendeklaration

>	a:=0;b:=2;c:=20;d:=1;e:=1;r:=10;v:=1;

Plots

>	ku1:=spacecurve(k1,phi=0..2*Pi,thickness=3,color=black):

>

ku1;

>	ku2:=spacecurve(k2,phi=0..2*Pi,thickness=3,color=red):

>

ku2;

>	RF:=plot3d(ZD,phi=0..2*Pi,t=0..1):

>	display3d(ku1,ku2,RF);

Der andere Flächenast

>	k1n:=[-r*cos(phi),r*sin(phi),s1];

>	ku1n:=spacecurve(k1n,phi=0..2*Pi,thickness=3,color=black):

>	k2n:=[r*cos(phi)+c,r*sin(phi),s2];

>	ku2n:=spacecurve(k2n,phi=0..2*Pi,thickness=3,color=red):

>	ZDn:=matadd(k1n,scalarmul((k2n-k1n),t));

>	RFn:=plot3d(ZDn,phi=0..2*Pi,t=-0.5..1.5):

>	display3d(ku1n,ku2n,RFn);

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