Wölbfläche des Eingangs in einen runden Turm

Mag. Katrin Brunnthaler & Mag. Martin Pfurner

Utils

>    restart;

>    with(plots):

>    with(linalg): 

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Definition

Die Wölbfläche des Eingangs in einen runden Turm  ist ein gerades Konoid .

Ein Konoid ist eine Regelfläche, die eine eigentliche Gerade d und eine Ferngerade als

Leitgeraden besitzt. Beim geraden Konoid steht die eigentliche Gerade orthogonal auf

die durch die Ferngerade bestimmte Ebenenstellung.

Die dritte Leitlinie für diese Wölbfläche ist eine auf einem Drehzylinder aufge-

wickelte Ellipse. Die Achse des Drehzylinders ist d und eine Hauptachse der

Ellipse soll dazu parallel sein.

Parameterdarstellungen

Wir wählen ein kartesisches Normalkoordinatensystem derart, dass die z-Achse mit

der Drehachse d zusammenfällt und der Mittelpunkt der aufgewickelten Ellipse die

Koordinaten (r,0,0) besitzt (r...Radius des Drehzylinders).

Daraus ergibt sich die Parameterdarstellung des Drehzylinders wie folgt:

>    DZ:=[r*cos(alpha),r*sin(alpha),s];

DZ := [r*cos(alpha), r*sin(alpha), s]

Die Parameterdarstellung einer Ellipse in Hauptlage mit Halbachsenlängen a und b lautet:

>    ELL:=[a*cos(phi),b*sin(phi)];

ELL := [a*cos(phi), b*sin(phi)]

Aufwicklun g

Wie aus der Theorie der Abwicklung eines Drehzylinders bekannt ist, bestimmt die

Bogenlänge der Leitkurve (Kreis) die eine und die z-Koordinate die andere Koordinate

in der Abwicklung. Wenn man diesen Vorgang unkehrt erhält man die Aufwicklung:

>    bogenlänge:=a*cos(phi);

>    z:=b*sin(phi);

`bogenlänge` := a*cos(phi)

z := b*sin(phi)

 

>    alpha=beta;

>    beta:=bogenlänge/r;

alpha = beta

beta := a*cos(phi)/r

Also ergibt sich die Parameterdarstellung der aufgewickelten Ellipse als:

>    AELL:=[cos(beta)*r,sin(beta)*r,z];

AELL := [cos(a*cos(phi)/r)*r, sin(a*cos(phi)/r)*r, b*sin(phi)]

Aus diesen Ergebnissen und auf Grund der Tatsache, dass die Wölbfläche ein gerades

Konoid ist, lässt sich die Parameterdarstellung leicht angeben:

>    WF:=matadd(AELL,scalarmul((AELL-[0,0,z]),t));

WF := vector([cos(cos(phi))+t*cos(cos(phi)), sin(cos(phi))+t*sin(cos(phi)), sin(phi)])

Variablendeklaration

>    r:=1;a:=1;b:=1;

r := 1

a := 1

b := 1

Plots

>    ZYL:=plot3d(DZ,alpha=0..2*Pi,s=-1.1..1.1):

>    ZYL;

[Maple Plot]

>    KU:=spacecurve(AELL,phi=0..2*Pi,thickness=3,color=black):

>    KU;

[Maple Plot]

>    RF:=plot3d(WF,phi=0..2*Pi,t=-1..0):

>    RF;

[Maple Plot]

>    display3d(ZYL,KU,RF);

>   

[Maple Plot]

...Anwendung :-))?!?

>    KU1:=spacecurve([cos(2*cos(p)),sin(2*cos(p)),sin(p)],p=0..2*Pi,thickness=3,color=black):

>    RF1:=plot3d([cos(2*cos(p))*(1-t),sin(2*cos(p))*(1-t),sin(p)],p=0..Pi,t=-1..0):

>    kug1:=plot3d([.3*cos(p)*sin(q)+1,.3*sin(p)*sin(q),.3*cos(q)],p=0..2*Pi,q=0..2*Pi,color=red):

>    kug2:=plot3d([.1*cos(p)*sin(q)+.9,.1*sin(p)*sin(q)+.5,.1*cos(q)+.5],p=0..2*Pi,q=0..2*Pi,color=blue):

>    kug3:=plot3d([.1*cos(p)*sin(q)+.9,.1*sin(p)*sin(q)-.5,.1*cos(q)+.5],p=0..2*Pi,q=0..2*Pi,color=blue):

>    display3d(KU1,RF1,ZYL,kug1,kug2,kug3);

[Maple Plot]

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