Bahnflächen bei Drehungen

Der Torus, eine spezielle Drehfläche

Allgemeine Drehflächen

Drehflächen 2.Ordnung

Drehflächen 2. Ordnung entstehen durch Verdrehung einer Kurve 2.Ordnung (Ellipse, Hyperbel oder Parabel) um eine Symmetrieachse

> Ellipsoid1:=evalm(Drehmatrix&*vector([1,5*cos(u),0,2*sin(u)]));

> plot3d([Ellipsoid1[2],Ellipsoid1[3],Ellipsoid1[4]],t=0..2*Pi,u=0..2*Pi,numpoints=1000,axes=frame,scaling=constrained,orientation=[10,70],title=linsenfoermiges_Drehellipsoid);

> Ellipsoid2:=evalm(Drehmatrix&*vector([1,2*cos(u),0,5*sin(u)]));

> plot3d([Ellipsoid2[2],Ellipsoid2[3],Ellipsoid2[4]],t=0..2*Pi,u=0..2*Pi,axes=frame,scaling=constrained,title=eifoermiges_Drehellipsoid);

> Paraboloid:=evalm(Drehmatrix&*vector([1,2*u,0,-u^2]));

> plot3d([Paraboloid[2],Paraboloid[3],Paraboloid[4]],t=0..2*Pi,u=0..4,axes=frame,scaling=constrained,title=Drehparaboloid,orientation=[60,70]);

> Hyperboloid1:=evalm(Drehmatrix&*vector([1,3*cosh(u),0,sinh(u)]));

> plot3d([Hyperboloid1[2],Hyperboloid1[3],Hyperboloid1[4]],t=0..2*Pi,u=-2..2,axes=frame,scaling=unconstrained,orientation=[150,70],title=einschaliges_Drehhyperboloid);

> Hyperboloid2:=evalm(Drehmatrix&*vector([1,sinh(u),0,3*cosh(u)]));

> oh:=plot3d([Hyperboloid2[2],Hyperboloid2[3],Hyperboloid2[4]],t=0..2*Pi,u=-2..2,axes=frame,scaling=unconstrained):

> uh:=plot3d([Hyperboloid2[2],Hyperboloid2[3],-Hyperboloid2[4]],t=0..2*Pi,u=-2..2,axes=frame,scaling=unconstrained,orientation=[60,70],title=zweischaliges_Drehhyperboloid):

> display3d({uh,oh});

Das einschalige Drehhyperboloid (DH1) trägt zwei Scharen von Erzeugenden. Es kann durch die implizite Drehflächengleichung

> hy:=(x^2+y^2)/a^2-z^2/b^2-1;

dargestellt werden. (Einsetzen der Parameterdarstellung in die implizite Darstellung muss Null ergeben!! d. h.die Parameterdarstellung muss die implizite Flächengleichung erfüllen)

> subs(x=a*cos(t)*cosh(u), y=a*sin(t)*cosh(u),z= b*sinh(u),hy);

> simplify(%);

Schnitt des DH1 mit einer achsenparallelen Ebene

> subs(x=a,hy);

> factor(%);

Das sind zwei Geraden in der Ebene x=a!!

> hyp1:=evalm(Drehmatrix&*vector([1,2,u*2,u*3]));

> ph1:=plot3d([hyp1[2],hyp1[3],hyp1[4]],t=0..2*Pi,u=-3..3,axes=frame,scaling=constrained):

> hyp2:=evalm(Drehmatrix&*vector([1,2,u*2,-u*3]));

> ph2:=plot3d([hyp2[2],hyp2[3],hyp2[4]],t=0..2*Pi,u=-3..3,axes=frame,scaling=constrained,orientation=[50,85]):

> display3d({ph1,ph2});

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