Regelflächen durch drei Leitgeraden

Regelflächen sind durch die Angabe von drei Leitkurven eindeutig bestimmt. Ist eine der drei Leitkurven eine Gerade, dann ist die RF ein Konoid , ist die gerade Leitkurve eine uneigentliche Gerade (eine Ferngerade), dann heißt die Regelfläche konoidal. Wir zeigen dazu ein Beispiel: gegeben sei eine Parabel als Leitkurve l1, und die x-Achse als Leitkurve l2. Weiters sei die Ferngerade der yz-Ebene die dritte Leitkurve (d. h. alle Ergeugenden der RF müssen zur yz-Ebene parallel sein).

> l1:=[2*u,8,4-u^2];

> L1:=spacecurve(l1,u=-2.5..2.5,color=red,thickness=3 ):

> L2:=spacecurve([2*u,0,0],u=-2.5..2.5,color=red,thickness=3 ):

> fl:=plot3d([2*u,lambda*8,lambda*(4-u^2)],u=-2..2,lambda=-0..1,axes=frame):

Im Plot werden die zwei eigentlichen Leitkurven und die erzeugte Regelfläche gezeigt:

> display3d({fl,L1,L2});

Durch eine kleine Veränderung der Flächengleichung kann man die uneigentliche Leitgereide "ins Endliche hereinholen" und zu einer (zweiten) eigentlichen Leitgeraden machen

> fl1:=plot3d([u+lambda*u,lambda*(8),lambda*(4-u^2)],u=-2..2,lambda=-1.5..1):

> L3:=spacecurve([0,-8,2*u],u=-2.5..0.5,color=red,thickness=3,axes=framed ):

> display3d({fl1,L2,L1,L3});

Das Hyperbolische Paraboloid ist eine spezielle Regelfläche. Es trägt zwei Scharen von Erzeugenden. Das HP wurde bereits im Kapitel über Freiformflächen behandelt. Die Normalform der Flächengleichung ist z=x*y, Durch Schnitte mit den Ebenen x=const.und y=const.erhält man die Geraden. Das HP ist eine Fläche 2.Ordnung.

> plot3d({x*y},x=-3..3,y=-3..3,axes=framed,orientation=[18,68],title=Hyperbolisches_Paraboloid,color=x*y);

Ebene Schnitte eine HP sind Hyperbeln mit der Ausnahme von Schnitten parallel zur Achse des HP. Diese sind Parabeln.

> k1:=spacecurve([t,1/t,1],t=-3..-0.2,color=black,thickness=3):

> k2:=spacecurve([t,1/t,1],t=0.2..3,color=black,thickness=3):

> k3:=spacecurve([t,-t,-t^2],t=-3..3,color=red,thickness=3):

> hp:=plot3d({x*y},x=-3..3,y=-4..4,axes=framed,orientation=[100,60],title=Hyperbolisches_Paraboloid,title=ebener_Schnitt_eines_HP):

> display3d({hp,k1,k2,k3});